تبلیغات
دبیرستان استعداد های درخشان شهید بهشتی کاشان - برج هانوی (1)

برج هانوی (1)

یکشنبه 11 اردیبهشت 1390 09:54 ب.ظ   نویسنده : علیرضا خادم      


مقدمه

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت کنندگان مسابقات برنامه نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت آمیز یک الگوریتم، شیوه صحیح فکر کردن روی مساله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده تر آماده کنیم. در همین راستا و به عنوان یک تمرین ساده، به بررسی یکی از روشهای حل مساله کلاسیک برج هانوی می پردازیم. مساله برج هانوی یکی از مسائل جذاب، قدیمی و مشهور است که به یک مساله کلاسیک در علوم رایانه تبدیل شده‌است.

در ادامه اضافه می كنم این مطلب در 3 بخش در این وبلاگ ارایه شده است

قسمت اول

قسمت دوم

قسمت آخر

بقیه در ادامه ی مطلب

تاریخچه و صورت مساله

در محوطه معبدی در آسیای دور سه میله الماسی قرار داشت که یکی از آنها حاوی تعدادی قرص طلایی بود. کاهنان معبد در تلاش بودند تا قرص‌های طلائی را از آن میله به یکی دیگر از میله‌ها تحت شرایطی انتقال دهند، و باور داشتند که با تمام شدن انتقال قرص‌ها عمر جهان نیز به پایان خواهد رسید! میله اولیه ۶۴ قرص داشت، که بر روی هم به طور نزولی بر اساس اندازه‌شان چیده شده‌بودند.

 

نمونه‌ای از برج هانوی

 

همانند شکل سه میله داریم. یکی از میله‌ها میله مبدا (A)، دیگری میله کمکی (B) و دیگری میله مقصد (C) است. هدف انتقال تمام دیسک‌ها از میله مبدا به میله مقصد با رعایت شرایط زیر است:

در هر زمان فقط یک دیسک را می‌توان جابجا نمود. نباید در هیچ زمانی دیسکی بر روی دیسک با اندازه کوچکتر قرار بگیرد.

 

حل مساله

هدف ما ارائه الگوریتمی است که کمترین توالی حرکت‌ها را برای انتقال دیسک‌ها به ما بدهد. مثلا اگر n=۲ باشد، توالی حرکت به صورت زیر است:

حل مساله برج هانوی

  • دیسک ۱ را به میله B منتقل می‌کنیم.
  • دیسک ۲ را به میله C منتقل می‌کنیم.
  • دیسک ۱ را به میله C منتقل می‌کنیم.

حل مساله برج هانوی


توجه داشته باشید که بر اساس قانون اول نمی‌توان به غیر از بالاترین دیسک هر میله، به دیسک دیگری از آن دسترسی پیدا کرد.

حال سوال این است که آیا این مساله به کمک تکنیک بازگشت قابل حل است؟ اصولا چه مسائلی را می‌توان بازگشتی حل نمود؟

برای اینکه مساله‌ای بتواند با روش بازگشتی حل شود باید یک ویژگی اساسی داشته باشد. مساله اصلی (مساله‌ای که به ما داده می‌شود) قابل خرد شدن به زیر مساله‌هایی از همان نوع مساله اصلی باشد، به شرطی که اندازه زیر مساله‌های ایجاد شده کمتر باشد. آنگاه می‌توان امیدوار بود که آن را به طور بازگشتی حل کرد! این ویژگی در مورد مساله برج هانوی صدق می‌کند. ایده اصلی این است که توجهمان را به جای حرکت بالاترین دیسک، روی پایین‌ترین دیسک میله متمرکز کرده، و مراحل زیر را طی می‌کنیم:

n - ۱ دیسک بالایی را با شرایط ذکر شده و به کمک میله C به میله B منتقل می‌کنیم. بزرگترین دیسک را از میله مبدا به میله مقصد حرکت می‌دهیم. n - ۱ دیسک را که هم اکنون در میله B هستند با شرایط داده شده به میله مقصد انتقال می‌دهیم. می‌بینیم که توانستیم عملیات جابجا کردن n دیسک را به دو عملیات مشابه ولی با اندازه کمتر و یک عملیات ساده تقسیم کنیم. واضح است که جابجا کردن n - ۱ قرص راحتتر از جابجا نمودن n قرص است.

 


تابع بازگشتی زیر به زبان ++
C ترتیب حرکت‌ها را چاپ می‌کند:

 

 

void hanoi ( int nDisk, char start, char temp, char finish )

 

{

 

  if ( nDisk == 1 )

 

    cout << start << " --> " << finish << endl;

 

  else

 

  {

 

    hanoi ( nDisk - 1, start, finish, temp );

 

    cout << start << " --> " << finish << endl;

 

    hanoi ( nDisk - 1, temp, start, finish );

 

  }

 

}

برای مثال فراخوانی تابع به شکل ('hanoi(3, ‘A’, ‘B’, ‘C مساله برج هانوی را با سه دیسک که در میله A قرار دارند و با کمک میله B به میله C منتقل خواهد شد، حل می‌کند.

 

ترتیب فراخوانی‌ها برای اجرا شدن دستور

 

 

 

درختی که ترتیب اجرای دستورها را نشان می‌دهد


برای این که به کاهنان کمک کنیم، باید دستور ('hanoi(64, ‘A’, ‘B’, ‘C را اجرا کنیم. ولی چه زمانی طول می‌کشد تا این دستور اجرا شود؟ در حالت کلی می‌خواهیم بدانیم اگر تعداد دیسک‌ها n باشد، کمترین تعداد حرکت برای جابجا نمودن دیسک‌ها چقدر است؟

در ابتدا باید بررسی کنیم که آیا تابع بازگشتی فوق کمترین تعداد حرکت را چاپ می‌کند؟ جواب مثبت است. زیرا واضح است که برای جابجا کردن بزرگترین دیسک از پایین میله A، بقیه دیسک‌ها باید در میله B باشند. فقط در این صورت این دیسک جابجا می‌شود. در فراخونی‌های بعدی دیسک دوم از نظر بزرگی جابجا می‌شود و الی آخر. پس در این فراخوانی‌ها جابجایی بیهوده‌ای صورت نمی‌گیرد. همچنین توالی حرکت‌ها برای هر n منحصر بفرد است. یعنی برای یک n دو توالی متمایز از جابجایی‌ها وجود ندارد که تعداد جابجایی آن‌ها کمتر یا مساوی این حالت باشد.

حال به مساله مرتبه اجرایی مساله می‌پردازیم: فرض کنیم (T(n تعداد حرکت‌های لازم جهت انتقال n دیسک به مقصد باشد. بر اساس توضیحات فوق (T(n - ۱ حرکت برای انتقال n - ۱ دیسک به میله کمکی، یک حرکت برای انتقال بزرگترین دیسک به میله مقصد، و باز (T(n - ۱ حرکت برای انتقال n - ۱ دیسک موجود در میله کمکی به میله مقصد نیاز است. پس می‌توان نوشت:

T(n) =2 T(n - ۱) + 1

با حل این رابطه بازگشتی داریم:

T( n ) = 2n-1

همانطور که مشاهده می‌کنیم مرتبه اجرایی این الگوریتم (O(2n است که هرچند مرتبه مناسبی نیست، این روش حداقل تعداد حرکتهای ممکن را می‌دهد.

اگر فرض کنیم کاهنان با سرعت عمل زیاد توانسته باشند به صورت شبانه روزی و نسل به نسل در هر دو ثانیه یک قرص را جابجا کنند، برای انتقال تمامی ۶۴ قرص به میله مقصد، در حدود ۱٫۱۶۹ ترلیون (میلیون میلیون) سال زمان لازم دارند!

در واقع ما از روش Divide and Conquer یا حل و تقسیم برای ارائه راه حل استفاده نموده‌ایم. اما چون در تقسیم مساله اصلی به دو زیر مساله، اندازه ورودی‌های زیر مساله‌ها نزدیک به اندازه ورودی اصلی هستند، کارایی الگوریتم مطلوب نیست.

 

ادامه ی این مطلب چون حجمش زیاد شد در برج هانوی (2) است


آخرین ویرایش: یکشنبه 11 اردیبهشت 1390 10:16 ب.ظ
دیدگاه ها ()
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر

درباره وبلاگ


  • این وبلاگ متعلق به دانش آموزان دبیرستان شهید بهشتی سمپاد کاشان میباشد. هر مطلبی اعم از مطالب علمی روز و اخبار مدرسه را اینجا میتوانید پیدا کنید.
    تاریخ تولد وبلاگ: 4 بهمن 1389

نویسندگان

  • علیرضا خادم(59)