تبلیغات
دبیرستان استعداد های درخشان شهید بهشتی کاشان - برج هانوی (2)

برج هانوی (2)

یکشنبه 11 اردیبهشت 1390 09:05 ب.ظ   نویسنده : علیرضا خادم      


سلام

اینم ادامه برج هانوی در ادامه ی مطلب

حل مساله برج هانوی به روش غیربازگشتی

 

این مساله علاوه بر روش تابع بازگشتی راه حلهای غیربازگشتی نیز دارد. در بالا به این نتیجه رسیدیم که بهترین راه حل برای جابجا کردن n دیسک ۲n - ۱ حرکت نیاز دارد. در نتیجه مرتبه راه حلهای آن در بهینه‌ترین حالت، چه بازگشتی و چه غیربازگشتی، از مرتبه ( O( 2n خواهد بود. اما آنچه که راه حل بازگشتی و غیربازگشتی را از هم متمایز می‌کند مرتبه فضای مصرفی آن است. حل بازگشتی مساله، فراخوانی‌های تو در تو و فضای پشته از مرتبه ( O( n نیاز دارد. در حالی که می‌توان با استفاده از روش غیربازگشتی این مرتبه را به ( O( 1 کاهش داد. البته این مساله تنها دلیل بررسی روش غیربازگشتی نیست. تبدیل مرتبه مصرف فضا از ( O( n به ( O( 1 زمانی که مرتبه اجرایی الگورینم ( O( 2n است چندان قابل توجه نیست. دلیل دیگر می‌تواند این باشد که برخی زبانهای برنامه نویسی از فراخوانی بازگشتی توابع پشتیبانی نمی‌کنند و مجبور به استفاده ار روشهای غیربازگشتی هستند. اما دلیل اصلی این است که با بررسی این روشها تمرین کوچکی برای تبدیل الگوریتمهای بازگشتی به غیربازگشتی انجام می دهیم.

تا کنون چندین روش مختلف جهت پیاده سازی غیربازگشتی حل مساله برج هانوی ارائه شده است، که ما در اینجا دو روش را معرفی کرده، و تنها یکی از آنها را به طور کامل بررسی می کنیم. توجه داشته باشید که همه جزئیات حل مساله به صورت دقیق و مشروح مطرح نمی‌شود، و استدلال قسمتی از نتیجه گیری‌ها به عنوان تمرین به شما واگذار می‌شود.

 

  • روش اول:

حل مساله برج هانوی را می‌توان معادل پاسخ دادن به این سوال دانست که: در هر مرحله کدام دیسک به کدام میله منتقل می‌شود؟

+ کدام دیسک؟ فرض کنیم دیسکهایی به شعاع y ،x و z که رابطه x < y < z را با هم دارند، کوچکترین دیسک هر میله باشند. به عبارت دیگر این سه دیسک، بالاترین دیسکهای میله‌ها هستند که قابلیت جابجایی دارند. اگر میله‌ای شامل هیچ دیسکی نباشد، دیسکی با شعاع بی نهایت را برای آن در نظر می گیریم. حال به استدلالهای منطقی زیر توجه کنید:

استدلال 1: x برابر 1 است. چرا که بر اساس قوانین حاکم بر مساله، هیچ دیسکی نمی‌تواند روی دیسک 1 قرار بگیرد. در نتیجه این دیسک همیشه بالاترین دیسک موجود در یکی از میله‌ها است.

استدلال 2: در اولین مرحله دیسک 1 جابجا می‌شود. در آغاز همه دیسکها روی یک میله قرار دارند که دیسک ۱ بالاترین دیسک آن است.

استدلال 3: دیسکهایی که طی دو مرحله متوالی جابجا می‌شوند حتماً متمایز هستند. این مساله از بهینه بودن راه حل ما ناشی می‌شود. اگر قرار باشد طی دو مرحله متوالی یک دیسک خاص را جابجا کنیم، می‌توانیم دو مرحله را با هم ادغام کرده و کل جابجایی را یکجا انجام دهیم.

استدلال 4: با توجه به قوانین حاکم بر مساله، دیسک z نمی‌تواند حرکت کند. چرا که دیسکهای x و y هر دو از آن کوچکتر هستند.

استدلال 2 می‌گوید که اولین حرکت همیشه با دیسک 1 است. استدلال 3 می‌گوید حرکت بعدی با دیسکی غیر از دیسک 1 است. استدلال 4 می‌گوید این دیسک نمی‌تواند بزرگترین دیسک موجود در بالای میله‌ها باشد. پس در مرحله بعدی دیسک y جابجا خواهد شد. و بالاخره حرکت بعدی باز هم با دیسک 1 است (چرا؟).

پس با بررسی منطقی خود به این نتیجه رسیدیم که دیسک 1 و دیسکی که بزرگترین دیسک در آن مرحله نیست، به صورت متناوب جابجا می‌شوند. مراحل با شماره فرد برای دیسک 1، و مراحل با شماره زوج برای دیسک y.

+ کدام میله؟ حال که می دانیم در هر مرحله کدام دیسک جابجا می‌شود، به سراغ میله مقصد می رویم. در مراحل زوج که دیسک y منتقل خواهد شد، تشخیص میله مقصد بسیار آسان است. چرا که روی یکی از میله‌ها دیسک 1 قرار دارد که دیسک y نمی‌تواند روی آن قرار بگیرد. در نتیجه به تنها میله باقی مانده (میله دیسک z) منتقل می‌شود. در مورد مراحلی هم که دیسک 1 قرار است جابجا شود، می‌توان اینطور استدلال کرد:

فرض کنیم دیسک 1 روی میله A قرار داشته باشد و آن را به میله C منتقل کنیم. در مرحله بعدی دیسک y جابجا می‌شود. و در مرحله بعد باز هم دیسک ۱ باید جابجا شود. حال اگر این دیسک را به میله A بازگردانیم، به نوعی کار اضافی و بازگشت به عقب انجام داده ایم. برای آشکار شدن این موضوع کافی است مساله برج هانوی را با دو دیسک حل کنید، و در حرکت دوم دیسک 1، آنرا به میله‌ای بازگردانید که از آن آمده بود. پس می‌توان گفت در حرکتهای متوالی، دیسک شماره 1 به میله‌ای حرکت می‌کند که از آن به میله فعلی خود نیامده است. این مساله نه تنها در مورد دیسک 1، که در مورد همه دیسکها صادق است. یعنی همه دیسکها در حرکتهای خود به سمت میله‌ای می‌روند که در حرکت قبلی خود از آن نیامده اند. اما لحاظ کردن این شرط برای این دیسکها لازم نیست. چرا که در هر مرحله، تنها یک انتخاب برای حرکت خود دارند.

تنها مساله باقی مانده، میله مقصد دیسک 1 در اولین حرکت خود است. زمانی که این دیسک اولین حرکت خود را انجام می‌دهد، نمی‌توان از استدلال فوق برای تشخیص میله مقصد استفاده کرد (چرا!؟). استدلال این قسمت را هم که چندان دشوار نیست به شما وا می گذاریم و تنها به بیان نتیجه می پردازیم: اگر n (تعداد دیسکها) زوج باشد، دیسک 1 در اولین حرکت به میله کمکی (یعنی میله B)، و در غیراینصورت به میله مقصد (یعنی میله C) منتقل می کنیم.

به این ترتیب حل مساله برج هانوی به صورت غیربازگشتی به صورت کامل پیاده سازی می‌شود. حال می دانیم که در هر مرحله کدام دیسک به کدام میله منتقل می‌شود. تعداد مراحل هم همواره برابر ۲n - ۱ است. پیاده سازی کد این الگوریتم را نیز به شما وا می گذاریم تا با کار روی آن به خوبی بر الگوریتم تشریح شده مسلط شوید.

  • روش دوم:

یکی دیگر از روشهای پیاده سازی غیربازگشتی حل مساله برج هانوی از الگوریتم زیر تبعیت می‌کند:

 

 

void hanoi ( int nDisk, char start, char temp, char finish )

{

  int max = nDisk;

  char dest = finish;

  int disk = max;

  while( true )

  {

    while( disk > 0 )

    {

      if( moving disk succeeds )

      {

        if( disk == max )

        {

          max--;

          if( max == 0 )

          {

            return;

          }

        }

        dest = the final place of max;

      }

      else

      {

        dest = the alternative place between dest and the current place of disk;

      }

      disk--;

    }

    p and q = the places different of dest;

    disk = the smaller of the disks on top of p and q;

    dest = the place between p and q with greater disk on top;

  }

}

 

 

در پایان توجه داشته باشید که دو روش ذکر شده، تنها روشهای پیاده سازی غیربازگشتی حل مساله نیستند.

 

ادامه در برج هانوی (3)


آخرین ویرایش: - -
دیدگاه ها ()
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر

درباره وبلاگ


  • این وبلاگ متعلق به دانش آموزان دبیرستان شهید بهشتی سمپاد کاشان میباشد. هر مطلبی اعم از مطالب علمی روز و اخبار مدرسه را اینجا میتوانید پیدا کنید.
    تاریخ تولد وبلاگ: 4 بهمن 1389

نویسندگان

  • علیرضا خادم(59)